Наука - Наука?!

Экономико-математические модели и их интерпретация на примере модели Брауна

Великий физик Гиббс был очень замкнутым человеком и обычно молчал на заседаниях ученого совета университета, в котором он преподавал. Но на одном из заседаний этого совета, когда решался вопрос о том, уделять ли в новых учебных программах больше места математике или иностранным языкам, он не выдержал и произнес речь:

- Математика – это язык! - сказал он.

Сборник «Физики шутят».

Действительно, математика – это язык, и так же, как и любой другой язык, она позволяет описать практически любые процессы и явления, происходящие в мире. Одной важной особенностью любого языка является то, что предложения, составленные на этом языке, можно сформулировать таким образом, что их трактовка будет различаться. Например, смысловая нагрузка в предложениях: «Я читаю статью», «Статью читаю я» или «Читаю я статью» - разная, несмотря на то, что слова в них используются одинаковые. Так же и в математике: можно одну и ту же формулу представить по-разному, в связи, с чем ей можно будет дать разную трактовку. Рассмотрим, какие трактовки можно дать одной и той же модели на примере модели Брауна (известной так же под названием «модель экспоненциального сглаживания»).

Идея модели Брауна заключается в том, что прогнозное значение формируется на основе предыдущих фактических с разными весами [Лукашин, стр. 17]:

, (1)

которые задаются по экспоненциальном закону, в соответствии с правилом:

, (2)

где, - прогнозное значение параметра на наблюдении t+1, - фактическое значение параметра на наблюдении t, α – постоянная сглаживания, i – номер наблюдения с конца. Подставим (2) в (1), получим:

. (3)

В методе Брауна сумма весов представляет собой ряд геометрической прогрессии, в пределе (при ) сходящийся к 1:

, (4)

если выполняется условие: , откуда со всей очевидностью следует ограничение на постоянную сглаживания [Светуньков, стр. 9].

Модель (3) обычно трактуют как модель, в которой прогнозное значение формируется как среднее всех фактических значений с весами, заданными по экспоненциальному закону (то есть вес значения на новом наблюдении больше веса значения на старом наблюдении). Эта трактовка представлена графически на Рис. 1: каждому наблюдению: II, III, IV,… – сопоставляются веса: , , , … – которые формируют прогнозное значение I.

Некоторые вопросы и недопонимание у исследователей в таком представлении модели вызывает значение , большее 1. Действительно, если, например, , то веса для ряда наблюдений будут складываться таким образом:

(5)

или, что равнозначно:

(6)

Ряд весов получается знакочередующимся, в пределе сходящийся к единице:

, (7)

однако экономический смысл того, что у одних наблюдений веса больше единицы, а у других – меньше нуля, многим непонятен. Впрочем, если данную модель рассматривать не как «модель средних взвешенных величин», а как своеобразную авторегрессию, то вопросов становится значительно меньше. В таком случае прогнозируемое значение просто зависит от предыдущих наблюдений в соответствии с правилом (6).

Стоит, однако, отметить, что ограничение коэффициента по большому счёту имеет смысл только в том случае, когда количество наблюдений бесконечно. На практике это невозможно, поэтому ряд всех весов никогда в реальности к единице не сходится. В этой ситуации вообще все рассуждения о том, что альфа надо как-то ограничивать ставятся под вопрос.

Чтобы взглянуть на метод Брауна с другой стороны рассмотрим его более компактную и популярную форму. Ведь, если в формуле (3) вынести в правой части за скобки , мы получим:

. (8)

Можно заметить, что в скобках в правой части фактически задано прогнозное значение на наблюдении t:

(9)

Соответственно, используя (9), формулу (8) можно переписать в более компактном виде:

. (10)

Именно в таком виде модель Брауна и стала популярной, и именно в таком виде появляется соблазн дать коэффициенту следующую экономическую интерпретацию (которая превалирует в среде экономистов): представляет собой некоторую среднюю взвешенную, служащую для формирования прогнозного значения. То есть прогноз складывается из двух частей: из части фактического значения, полученного на наблюдении t и части, спрогнозированной на наблюдение t. В такой трактовке, очевидно, что , так как подразумевается наличие средней между двумя значениями, и именно этой трактовки модели придерживаются многие экономисты. Графически формирование прогнозного значения в соответствии с моделью (10) представлено на Рис. 2: точка III считается как средневзвешенная фактического значения I и прогнозного II, её значение как раз и становится прогнозом – точкой IV. Далее берётся средневзвешенная между точками IV и V, получается новая средняя (точка VI) и новый прогноз (точка VII) и так далее. Причём в данной интерпретации регулирует распределение весов между фактом и прогнозом.

Однако мы в данном случае сталкиваемся с ситуацией, в которой трактовка модели её только ограничивает. Покажем, каким образом это происходит.

Если мы раскроем скобки в правой части (10):

, (11)

после чего вынесем за скобки , то получим формулу, математически абсолютно идентичную формуле (10), но имеющую уже другую трактовку:

. (12)

Здесь прогнозное значение формируется на основе предыдущего спрогнозированного, а выступает некоторым коэффициентом адаптации модели к новой поступающей информации (так как в скобках в (12) у нас представлено отклонение факта от прогноза). В таком случае степень адаптации может быть, в общем-то, любой: модель может адаптироваться незначительно и отсеивать поступающие «шумы» (когда альфа мал, например, составляет 0,3) или достаточно быстро адаптироваться к поступающей информации в случае, когда в процессе происходят качественные изменения (когда альфа больше 1, например, составляет 1,7). Графическое представления этой трактовки дано на Рис. 3.

Здесь расчётное значение II берётся за базу для прогноза на следующем наблюдении и переносится в точку III, которая затем корректируется на величину отклонения фактического значения I от расчётного II. В итоге прогнозное значение из точки III «переходит» в точку IV, которая в свою очередь становится базой для следующего прогноза (точка VI) и так далее. в этой интерпретации выступает константой, регулирующей скорость адаптации, то есть то, на какую величину произойдёт корректировка модели (например, из точки III в точку IV).

Исследования, проведённые с 1993 по 2005 год, поддержанные Российским фондом фундаментальных исследований, показали, что, когда перед исследователем стоит задача прогнозирования нестационарного процесса, модель Брауна даёт лучшие результаты в случае с [Светуньков, стр. 28].

Для того чтобы закончить рассмотрение различных вариантов интерпретации одной и той же модели Брауна, введём коэффициент η, такой, что:

. (13)

Если , то, естественно, что . С учётом условия (13) мы можем модифицировать модель Брауна (12):

. (14)

Раскрыв скобки в (14) и проведя элементарные преобразования, получим следующую модель:

. (15)

Эта модель тождественна моделям (10) и (12), однако благодаря такому представлению, трактовать её можно несколько иначе. В ней прогнозное значение на шаге t+1 полностью учитывает фактическое значение на наблюдении t, и корректируется на величину отклонения пропорционально η. Графически этот механизм может быть представлен так, как это показано на Рис. 4. По своей логике этот механизм напоминает описанный для Рис. 3, однако у него есть некоторые отличия. Так модель изначально формируется исходя из данного фактического значения (значение точки I переносится на следующее наблюдение в точку III), которое затем корректируется на величину отклонения факта (точка I) от прогноза (точка II) на предыдущем наблюдении. η в этой интерпретации выступает константой, не только регулирующей величину корректировки, но ещё и определяющей направление корректировки. То есть она характеризует то, на какую величину, и в какую сторону произойдёт корректировка модели (например, из точки VI вниз, в точку VII).

Как видим, вне зависимости от того, каким образом мы группируем переменные в модели, прогноз не меняется, модель Брауна даёт одни и те же результаты в любых формах её записи, однако меняется экономическая интерпретация её коэффициентов, в результате чего некоторые исследователи накладывают те или иные ограничения на модель. Это явление достаточно часто встречается в экономико-математическом моделировании: желание дать трактовку той или иной модели, тому или иному показателю, ограничивает саму модель, в результате чего она начинает работать хуже.

Есть ещё одна сторона экономико-математического моделирования, связанная с трактовкой полученных результатов, которая достаточно часто встречается в экономической теории: у экономистов всегда есть соблазн поставить знак равенства между реальным объектом и построенной моделью, в результате чего реальный объект в сознании людей наделяется свойствами, имеющимися лишь у модели, которыми он на самом деле не обладает. Однако рассмотрение этой стороны экономико-математического моделирования выходит за рамки данной статьи.

Список используемой литературы

  1. Лукашин Ю.П., Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. – М.: Финансы и статистика, 2003.
  2. Светуньков С.Г., Бутуханов А.В., Светуньков И.С., Запредельные случаи метода Брауна в экономическом прогнозировании. – СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2006.

pdf-версия статьи

Подняться вверх страницы
Вы можете написать мне письмо прямо с сайта (вот отсюда).